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函数f(x)的定义域为(0,正无穷),并满足以下条件:(1)对任何意的x>0,y>0,有f(xy)=f(x)+f(y)(2)x>1时,f(x)>01.求f(1)的值2.求证:f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数3.若x满足f(1/2)小于等于f(x
题目详情
函数f(x)的定义域为(0,正无穷),并满足以下条件:
(1)对任何意的x>0,y>0,有f(xy)=f(x)+f(y)
(2)x>1时,f(x)>0
1.求f(1)的值
2.求证:f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数
3.若x满足f(1/2)小于等于f(x)小于等于f(2),求函数y=2x+1/x的最大、最小值
(1)对任何意的x>0,y>0,有f(xy)=f(x)+f(y)
(2)x>1时,f(x)>0
1.求f(1)的值
2.求证:f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数
3.若x满足f(1/2)小于等于f(x)小于等于f(2),求函数y=2x+1/x的最大、最小值
▼优质解答
答案和解析
(1)
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1代入得
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
令x=1/y代入得
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以
f(x)=-f(1/x)
(2)
令x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)>f(1)>0
因此函数单增
(3)
f(1/2)≤f(x)≤f(2)
1/2≤x≤2
y=2x+1/x≥2√2,当且仅当2x=1/x,x=√2/2时成立
因此,最小值x=√2/2时为2√2
x=1/2,y=2x+1/x=3
x=2,y=2x+1/x=4.5
因此x=2时最大值是4.5
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1代入得
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
令x=1/y代入得
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以
f(x)=-f(1/x)
(2)
令x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)>f(1)>0
因此函数单增
(3)
f(1/2)≤f(x)≤f(2)
1/2≤x≤2
y=2x+1/x≥2√2,当且仅当2x=1/x,x=√2/2时成立
因此,最小值x=√2/2时为2√2
x=1/2,y=2x+1/x=3
x=2,y=2x+1/x=4.5
因此x=2时最大值是4.5
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