设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③当x＞1时，总有f（x）＜1．（1）求f（1）及f（12）的值；（2）求证f（

Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③当x＞1时，总有f（x）＜1．
（1）求f（1）及f（(1)/(2)）的值；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）求不等式f（x-1）+f（x-2）＜1的解集．

Answer 1

（1）∵f（a）+f（b）-1=f（a•b），
令a=b=1，则f（1）=1
∵f（2）=0，
∴f（1）=f（2×(1)/(2)）=f（2）+f（(1)/(2)）-1=1
∴f（(1)/(2)）=2，
（2）设0＜x₁＜x₂，f（x1）-f（x2）=f（x₁）-f((x2)/(x1)•x₁）=f（x₁）-f（(x2)/(x1)）-f（x₁）+1=1-f（(x2)/(x1)），
∵(x2)/(x1)＞1，
∴f（(x2)/(x1)）＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x-1）+f（x-2）-1=f[（x-1）（x-2）]，
∵f（x-1）+f（x-2）＜1
∴f（x-1）+f（x-2）-1＜0
∴f[（x-1）（x-2）]＜0=f（2）
∴（x-1）（x-2）＞2
解得x＜0或x＞3
又x-1＞0，x-2＞0
∴x＞2，
∴x＞3