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已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;(2)
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已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
+
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
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DM |
1 |
DN |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AD=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°.
∠ADO=
∠ADC=
×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=
CD,OF=
BC,AO=
AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心.
(2)①猜想:外心P一定落在直线DB上.
证明:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上.
②
+
为定值2.
当AE⊥DC时.△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点.
连接BD、AC交于点P,由(1)
可得点P在BD上,即为△AEF的外心.
如图3.设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP.
∴BG=DM=x.
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴
=
,
∴
=
,
∴x+y=2xy,
∴
+
=2,
即
+
=2.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AD=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°.
∠ADO=
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又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=
1 |
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∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心.
(2)①猜想:外心P一定落在直线DB上.
证明:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上.
②
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当AE⊥DC时.△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点.
连接BD、AC交于点P,由(1)
可得点P在BD上,即为△AEF的外心.
如图3.设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP.
∴BG=DM=x.
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴
CN |
DN |
CG |
DM |
∴
y−1 |
y |
1−x |
x |
∴x+y=2xy,
∴
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x |
1 |
y |
即
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