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(2014•汕尾)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2=BD•BA;(3)当以点O、D、E、C为顶点的
题目详情
(2014•汕尾)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E.
(1)求证:点E是边BC的中点;
(2)求证:BC2=BD•BA;
(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:△ABC是等腰直角三角形.
(1)求证:点E是边BC的中点;
(2)求证:BC2=BD•BA;
(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:△ABC是等腰直角三角形.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图,连接OD.
∵DE为切线,
∴∠EDC+∠ODC=90°;
∵∠ACB=90°,
∴∠ECD+∠OCD=90°.
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC=∠ECD,
∴ED=EC;
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD=90°,
∴∠B=∠BDE,
∴ED=DB.
∴EB=EC,即点E为边BC的中点;
(2)∵AC为直径,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB,
∴
=
,
∴BC2=BD•BA;
(3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°;
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形.
∵DE为切线,
∴∠EDC+∠ODC=90°;
∵∠ACB=90°,
∴∠ECD+∠OCD=90°.
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC=∠ECD,
∴ED=EC;
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD=90°,
∴∠B=∠BDE,
∴ED=DB.
∴EB=EC,即点E为边BC的中点;
(2)∵AC为直径,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB,
∴
AB |
BC |
BC |
BD |
∴BC2=BD•BA;
(3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°;
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形.
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