已知椭圆D：x24+y2=1与圆M：x2+（y-m）2=9（m∈R），双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．（1）当m=6时，求双曲线G的方程；（2）若双曲线的两条准线间的距离范围是[1

Question

已知椭圆D：(x2)/(4)+y²=1与圆M：x²+（y-m）²=9 （m∈R），双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．
（1）当m=6时，求双曲线G的方程；
（2）若双曲线的两条准线间的距离范围是[1，√(3)]，求m的取值范围．

Answer 1

问题解析

由题意可根据椭圆(x2)/(4)+y²=1及双曲线G与椭圆D有相同的焦点，求出双曲线的焦点坐标，设双曲线的方程，得到有a²+b²=3
（1）当m=6时，圆心坐标为（0，6），半径为3，由于双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，由此得方程3=(|6a|)/(√(a2+b2))，解此方程求得a的值，再结合a²+b²=3求出b的值即可得到双曲线的标准方程；
（2）双曲线的两条准线间的距离范围是[1，√(3)]，可得(2a2)/(√(3))∈[1，√(3)]，从中解出a²∈[(√(3))/(2)，(3)/(2)]，再由双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切得到3=(|ma|)/(√(a2+b2))，将其整理为m²=(27)/(a2)，将a²的取值范围代入，即可求得m的取值范围．

名师点评

本题考点：

圆锥曲线的综合．

考点点评：

本题考查圆与圆锥曲线的综合题目，本题解题的关键是熟练应用圆与圆锥曲线的性质来解题，本题可以作为压轴题目出现在大型考试中，是一个难题．