设f(x)是定义在R上的函数,且在（—∞,+∞）上是增函数,又F（x）=f(x)－f(-x),那么F（x）一定是（）A.奇函数,且在（—∞,+∞）上是增函数B.奇函数,且在（—∞,+∞）上是减函数C.偶函数,且在（

Question

设f(x)是定义在R上的函数,且在（—∞,+∞）上是增函数,又F（x）=f(x)－f(-x),那么F（x）一定是（ ）
A.奇函数,且在（—∞,+∞）上是增函数
B.奇函数,且在（—∞,+∞）上是减函数
C.偶函数,且在（—∞,+∞）上是增函数
D.偶函数,且在（—∞,+∞）上是减函数
希望各位帮我解答一下,并且把过程写下来,谢谢!

Answer 1

选A
F（x）=f(x)－f(-x)
F（-x）=f(-x)－f(x)
显然是奇函数
设x1>x2,有-x1 < -x2
F(x1) - F(x2) = f(x1) - f(-x1) - f(x2) + f(-x2)
= f(x1) - f(x2) + f(-x2) - f(-x1)
由于f(x)在R上地增函数,所以f(x1) - f(x2) > 0,f(-x2) - f(-x1) > 0
所以F(x1) - F(x2) > 0
所以是增函数