如下图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=aPA⊥平面ABCD,PA=1.(1)在BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?说明理由.(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使PQ⊥QD,求AD与平面PDQ所成角的正弦值
(1)在BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?说明理由.
(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使PQ⊥QD,求AD与平面PDQ所成角的正弦值.
(3)在(2)的条件下,能求出平面PQD与平面PAB所成的角的大小吗?
解:(1)假设BC边上存在Q点,使得PQ⊥QD,则连结AQ,必有∠AQD=90° 故问题转化为:在边BC上是否存在点Q,使得∠AQD=90°?
由平面几何知识,问题又可转化为:以AD为直径作圆,是否与BC边有交点?
易知,当AB≤ AD,即a≥2时,BC边上存在点Q,使得∠AQD=90° 从而由三垂线定理有PQ⊥QD;
当AB> AD,即a<2时,不存在点Q,使得PQ⊥QD.
(2)当BC边上有且仅有一个点Q,使得PQ⊥QD,可知BC=2,点Q为BC边的中点.
∵DQ⊥AQ,DQ⊥PA,
∴DQ⊥平面PAQ.
∴平面PAQ⊥平面PQD.过A点作AE⊥PQ于E点,连结DE,
∴AE⊥平面PDQ.
∴∠ADE为AD与平面PDQ所成的角.
在Rt△PAQ中,PA·AQ=AE·PQ,
∴AE= .
在Rt△AED中,sin∠ADE= .
(3)延长DQ、AB交于F点,则二面角D—PF—A即为所求.
∵AD⊥AB,AD⊥PA,
∴AD⊥平面PAB.过A作AH⊥PF于H点,连结DH,则DH⊥PF,
∴∠DHA为二面角D—PF—A的平面角.
在Rt△PAF中,
∵AH·PF=PA·FA,
∴AH= .
在Rt△DAH中,tan∠DHA=
∴∠DHA=arctan .
∴平面PQD与平面PAB所成角为arctan .
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