如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．（1）求证：DE∥CF；（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三

Question

Answer 1

（1）证明：连接OF，
∵AB切半圆O于点F，OF是半径，
∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC，
∴OF∥BC，
∵BC=OE，OE=OF，
∴BC=OF，
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DE∥CF；

（2）若△OBF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(AB)，
∴OB=(AC•OF)/(AB)，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2√(3)．
又∵OF=OE=2，
∴OB=(4×2)/(2√(3))=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(OB)/(OF)OBOBOBOFOFOF=(AC)/(AB)，
∴OB=(AC•OF)/(AB)，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2√(3)．
又∵OF=OE=2，
∴OB=(4×2)/(2√(3))=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(AC)/(AB)ACACACABABAB，
∴OB=(AC•OF)/(AB)，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2√(3)．
又∵OF=OE=2，
∴OB=(4×2)/(2√(3))=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(AC•OF)/(AB)AC•OFAC•OFAC•OFABABAB，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2√(3)．
又∵OF=OE=2，
∴OB=(4×2)/(2√(3))=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
√(3)

3

33．
又∵OF=OE=2，
∴OB=(4×2)/(2√(3))=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(4×2)/(2√(3))4×24×24×22√(3)2√(3)2√(3)

3

33=(4√(3))/(3)；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(4√(3))/(3)4√(3)4√(3)4√(3)

3

33333；
若△BOF∽△ACB，
∴(OB)/(OF)=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(OB)/(OF)OBOBOBOFOFOF=(AC)/(BC)，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(AC)/(BC)ACACACBCBCBC，
∴OB=(AC•OF)/(BC)，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(AC•OF)/(BC)AC•OFAC•OFAC•OFBCBCBC，
∴OB=(4×2)/(2)=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(4×2)/(2)4×24×24×2222=4；
综上，OB=(4√(3))/(3)或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
(4√(3))/(3)4√(3)4√(3)4√(3)

3

33333或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．