三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形内一点,PA=3,BP=1,PC=2,求角BPC的度数

Question

三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形内一点,PA=3,BP=1,PC=2,求角BPC的度数

Answer 1

将三角形BCP的C点固定不动,其余部分旋转,直到CB与CA重合.
假设原来的P点现在的位置是D,那么:
显然,旋转后的图形(三角形CAD)和原来的图形(三角形CBP)一定全等,所以:
CD=CP=2,AD=BP=1,
角BCP=角ACD.角BPC=角ADC.
所以角DCP=角ACB-角BCP+角ACD=90度.
所以如果我们连接DP,那么:
在三角形DPC中,根据勾股定理,将得到DP=2*根号2.
所以在三角形ADP中,
AD*AD+DP*DP=AP*AP.
所以三角形ADP是一个直角三角形,角ADP=90度.
根据上面的分析,要求角BPC就只需要求角ADC.
角ADC=角ADP+角CDP
前者是直角,后者是等腰直角三角形CDP的一个底角,等于45度.
所以角ADC=135度.
所以就求出了BPC的度数.