设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为（2√2）/3,且内切于圆x^2+y^2=9.(1)求椭圆C的方程(2)过点Q（1,0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆相交于M、N两点,与y轴交于点R,若向量RM=λ向量MQ,向量RN=μ

Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为（2√2）/3,且内切于圆x^2+y^2=9.
(1)求椭圆C的方程
(2)过点Q（1,0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆相交于M、N两点,与y轴交于点R,若向量RM=λ向量MQ,向量RN=μ向量NQ,试判断λ+μ是否为定值,并说明理由

Answer 1

（1）因椭圆C内切于圆
则椭圆C短半轴与圆的半径相等
即b=3（I）
又e=c/a=(2√2)/3（II）
而a^2=b^2+c^2（III）
由（I）（II）（III）解得a=9
所以椭圆C方程为x^2/81+y^2/9=1
（2）令直线L：y=k(x-1)
令x=0,易知R坐标为(0,-k)
令直线L与椭圆C相交于M(x1,y1)、N(x2,y2)
易知向量RM=(x1,y1+k),MQ=(1-x1,-y1)
且知向量RN=(x2,y2+k),NQ=(1-x2,-y2)
因向量RM=λ向量MQ
则x1=λ(1-x1),即x1=λ/(1+λ)
且y1+k=λ(-y1),即y1=-k/(1+λ)
而M在椭圆C上
则[λ/(1+λ)]^2/81+[-k/(1+λ)]^2/9=1
即λ^2+9k^2=81(1+λ)^2（IV）
又向量RN=μ向量NQ
则x2=μ(1-x2),即x2=μ/(1+μ)
且y2+k=μ(-y2),即y2=-k/(1+μ)
而N在椭圆C上
则[μ/(1+μ)]^2/81+[-k/(1+μ)]^2/9=1
即μ^2+9k^2=81(1+μ)^2（V）
由（IV）-（V）得：
(λ+μ)(λ-μ)=81(λ+μ+2)(λ-μ)
易知向量RM与MQ反向,向量RN与NQ反向
即λ