基本不等式应用题一道某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部分是边长为x、y（单位：m）的矩形,上部分是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m^2,问x、y分别为多少是用料最省?

Question

基本不等式 应用题 一道
某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部分是边长为x、y（单位：m）的矩形,上部分是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m^2,问x、y分别为多少是用料最省?（精确到0.001m）
总面积=x^2/4+xy=8
y=8/x-x/4
用料=2x+2y+2*x*√2/2=2(√2+1)x+2y
=(2+√2)x+2(8/x-x/4)
=(√2+3/2)x+16/x
所以,
(√2+3/2)x=16/x
x^2=32/(√2+1)^2
x=4√2/(√2+1)=4√2(√2-1)=8-4√2
y=8/x-x/4=8/(8-4√2)-(8-4√2)/4
=2/(2-√2)-(2-√2)
=(2+√2)-(2-√2)
=2√2
即:
x=(8-4√2)米,y=2√2米 时用料最省
我想问算到y=(2+√2)x+2y 时 为什么不能直接 当(2+√2)x=2y时 y最小

Answer 1

y=(2+√2)x+2y 时 ,当(2+√2)x=2y时 y最小,为什么呢?没有根据啊.
由y=(2+√2)x+2y =(√2+3/2)x+16/x,
再由均值不等式得,
y≥2√【(√2+3/2)x*16/x】=8+4√2,
当且仅当 (√2+3/2)x=16/x,即x=8-4√2时上式取等号,
这时y=2√2.