地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为Ep＝−GMmr．国际空间

Question

地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为Ep＝−G(Mm)/(r)．国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验．设空间站离地面高度为h，如果在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，求该卫星在离开空间站时必须具有多大的初动能？

Answer 1

由G(Mm)/(r2)＝(mv2)/(r)得，卫星在空间站上动能为Ek＝(1)/(2)mv2＝G(Mm)/(2(R+h))
卫星在空间站上的引力势能为EP＝−G(Mm)/((R+h))
机械能为E1＝Ek+Ep＝−G(Mm)/(2(R+h))
同步卫星在轨道上正常运行时有G(Mm)/(r2)＝mω2r
故其轨道半径r＝

3

(GM)/(ω2)

由上式可得同步卫星的机械能E2＝−G(Mm)/(2r)＝−(1)/(2)m

3

G2M2ω2

卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E₂，
设离开航天飞机时卫星的初动能为E_k0
则E_k0=E2−Ep＝−(1)/(2)m

3

G2M2ω2

+G(Mm)/(R+h)．
答：该卫星在离开空间站时必须具有初动能为−(1)/(2)m

3

G2M2ω2

+G(Mm)/(R+h)．