一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段用不同半径的小圆弧来代替．通过曲线上某点作曲率圆，其半径是该点的曲率半径．现将一物体在竖直平面内沿与水平方向成一定角度从A点抛出，

Question

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段用不同半径的小圆弧来代替．通过曲线上某点作曲率圆，其半径是该点的曲率半径．现将一物体在竖直平面内沿与水平方向成一定角度从A点抛出，最高点B点的曲率半径为ρ，线OBM竖直，落地时轨迹与ON相切于C点，且∠MON=θ，不计空气阻力，重力加速度为g，如图所示．求：
（1）物体抛出时的初速度；
（2）O点与B点的高度差．

Answer 1

（1）由最高点B：曲率半径ρ=(v2B)/(g)，得v_B=√(gρ)
则斜抛初速度   v₀=(vB)/(sinθ)=(√(gρ))/(sinθ)．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
运动的时间t=(2vy)/(g)＝(2v0cosθ)/(g)．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (v2B)/(g)

v

2 B

v

2 B

v

2 B

v

2

B

vv

2

B

2

2

B

Bggg，得v_BB=√(gρ)
则斜抛初速度   v₀=(vB)/(sinθ)=(√(gρ))/(sinθ)．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
运动的时间t=(2vy)/(g)＝(2v0cosθ)/(g)．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． √(gρ)

gρ

gρgρ
则斜抛初速度   v₀0=(vB)/(sinθ)=(√(gρ))/(sinθ)．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
运动的时间t=(2vy)/(g)＝(2v0cosθ)/(g)．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (vB)/(sinθ)vBvBvBBsinθsinθsinθ=(√(gρ))/(sinθ)．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
运动的时间t=(2vy)/(g)＝(2v0cosθ)/(g)．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (√(gρ))/(sinθ)√(gρ)√(gρ)√(gρ)

gρ

gρgρsinθsinθsinθ．
（2）水平射程AC   x=v₀0sinθ t
运动的时间t=(2vy)/(g)＝(2v0cosθ)/(g)．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (2vy)/(g)2vy2vy2vyyggg＝(2v0cosθ)/(g)2v0cosθ2v0cosθ2v0cosθ0cosθggg．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=(x)/(2)cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (x)/(2)xxx222cotθ-y=ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． ρcot2θ−((v0cosθ)2)/(2g)=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． 2θ−((v0cosθ)2)/(2g)(v0cosθ)2(v0cosθ)2(v0cosθ)20cosθ)222g2g2g=(1)/(2)ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (1)/(2)111222ρcot²2θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为(√(gρ))/(sinθ)；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (√(gρ))/(sinθ)√(gρ)√(gρ)√(gρ)

gρ

gρgρsinθsinθsinθ；
（2）O点与B点的高度差为(1)/(2)ρcot²θ． (1)/(2)111222ρcot²2θ．