曲线与方程问题 急已知直线l:y=kx+1/2 与曲线 y=(1/2)x^2-1交于AB两点,O是坐标原点,求三角形AOB面积的最大值

Question

曲线与方程问题 急
已知直线l:y=kx+1/2 与曲线 y=(1/2)x^2-1交于AB两点,O是坐标原点,求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

y=kx+1/2代入曲线方程得:
kx+1/2=1/2x^2-1
x^2-2kx-3=0
x1+x2=2k
x1x2=-3.
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4k^2+12
|x1-x2|=根号(4k^2+12)
方程判别式=(-2k)^2-4(-3)=4k^2+12>0
即k取任何值.
直线AB与Y轴的交点坐标是C(0,1/2)
S(OAB)=S(OAC)+S(OBC)=1/2*|OC|*|Xa|+1/2|OC|*|Xb)
=1/2*1/2*(|Xa|+|Xb|)
因为x1x2=-3<0,所以X1,X2为一正一负.则有:
|Xa|+|Xb|=|x1-x2|
故有:S(ABC)=1/4|x1-x2|=1/4*根号(4k^2+12)=1/2根号(k^2+3)
当k=0时,即AB平行于X轴时,三角形OAB面积最小,是:1/2*根号3.
是不是要求面积的最小值?