设F(x)=∫(0到x+2π)sinte^sintdt,则F(x)为正数.为什么?是x到x+2π标题上打错了

Answer 1

由于被积函数的周期为2π,所以对任意x,都有F(x)=F(0)=∫（0到2π）sinxe^sinxdx=∫（0到π）sinxe^sinxdx+∫（π到2π）sinxe^sinxdx.对于后一项,作x=2π-t代换,得∫（π到2π）sinxe^sinxdx
=-∫（0到π）sinte^（-sint）dt.所以F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx.当x属于[0,π]时,sinx（e^sinx-e^（-sinx）≥0但不恒等于0,所以F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx＞0,故对任意x,恒有F(x)=F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx＞0