四星系统,是四颗星稳定的分布在变长为a的正方形的四个顶点上且它们均围绕正方形的对角线的交点做匀速圆周运动,星体运动周期为T,每个星体表面的重力加速度为g,引力常量为G,求：星体做

Question

四星系统,是四颗星稳定的分布在变长为a的正方形的四个顶点上且它们均围绕正方形的对角线的交点做匀速圆周运动,星体运动周期为T,每个星体表面的重力加速度为g,引力常量为G,求：星体做匀速圆周运动的轨道半径 每个星体的半径和质量

Answer 1

设四星在ABCE四个顶点上,边长为变长a,先以A点星为研究对象,A星受其它3颗星的引力,3引力合力指向中心交点,ABCD四星质量为m1,m2,m3,m4,B星对A星的引力F（BA）=Gm1*m2/a^2,D星对A星的引力F（DA）=Gm1*m4/a^2,C星对A星的引力F（CA）=Gm1*m3/(2a^2),
三星对A星的合力=m1*G(m2+m3/2+m4),其合力就是A星匀速圆周运动的向心力,角速度ω1=2π/T,向心加速度a1=(ω1)^2*R1(R1是 A星的轨道半径）
m1*（2π/T）^2*R1=m1*G(m2+m3/2+m4)
R1=G*(m2+m3/2+m4)*(T/2π)^2
同理可得：R2=G*(m3+m4/2+m1)*(T/2π)^2
R3=G*(m4+m1/2+m2)*(T/2π)^2
R4=G*(m1+m2/2+m3)*(T/2π)^2
各星球半径分别是r1,r2,r3,r4,设星球上有一物体质量是m0,m0g=G*m0*m1/r1^2
r1=√Gm1/g,r2=√Gm2/g,r3=√Gm3/g,r4=√Gm4/g,