建造一个容积为8立方米,深为2米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米100元,池底的造价为每平方米300元,把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数,并求最小值.

Question

建造一个容积为8立方米,深为2米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米100元,池底的造价为每平方米300元,把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数,并求最小值.

Answer 1

不知道你有没有学过不等式,这里用到高中数学第二册（上）中《不等式》一章的《算术平均数与几何平均数》的知识.
【解题关键】先为你介绍下列重要的不等式：
如果a,b∈R,那么a²＋b²≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).
证明:a²＋b²－2ab＝(a－b) ²
当a≠b时(a－b) ²＞0,当a＝b时(a－b) ²＝0,所以
(a－b) ²≥0
即a²＋b²≥2ab
由上面的结论,我们又可得到：
定理：如果a,b是正数,那么(a＋b)／2≥√ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）.
证明：∵(√a)² ＋(√b)²≥2√ab,
∴a＋b≥2√ab
即 (a＋b)／2≥√ab
显然,当且仅当a＝b时,(a＋b)／2＝√ab.
这里,我们称(a＋b)／2为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数.因而,这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（关于这个定理还有一种几何解释,高中课本上同步介绍,我就不多加说明了.当然,如果你没有课本又想知道的话可以站短我.）
理解上述知识,解题就容易了.下面是【解题步骤】：
设水池底面一边的长度为x米,则另一边的长度为8／2x米,又设水池的总造价为y元,根据题意,得
y＝300×(8／2)＋100{2×2×x＋2×2×(8／2x)}
＝1200＋400{x＋(4／x)}
≥1200＋400×2√{x×(4／x)}
＝1200＋400×2×2＝2800.
当x＝4／x,即x＝2时,y有最小值2800.
因此,当水池的底面是边长为2米的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是2800元.
（注：“√”为根号,“／”为分数线）
因为我没有专业的编辑器,所以打不出平时书写的样式.故在书写的时候要注意根号、分数、括号的更改.
高中知识逻辑性更强,更能解释“为什么”,但有些对初中生来说很难理解.实际上,我在初中时就碰到过类似问题,当时老师只是解释：底面为正方形,比底面为长方形时面积（总面积）小,因此造价就低,这可以通过假设比较来证明,自己试一下.
有不明白的地方,欢迎追问~
P.S.第二次回答这类问题,大部分照搬,有修改.放假久了,对这些知识都生疏了,要先在纸上把式子写出来,算出来,然后才打得出来……==