证明：如果A是n阶矩阵，r（A）=1，则A^k=tr（A）^（k-1）A。（trA为A的对角线元素和）

Question

证明：如果A是n阶矩阵，r（A）=1，则A^k=【tr（A）】^（k-1）A。（trA为A的对角线元素和）

Answer 1

因为r（A）=1，所以A可以表示为一个列向量a=（a1，…，an）与一个行向量b^T=（b1，…，bn）^T的乘积，则A的aij元素为aibj，A^k=（ab^T）^k=a（b^Ta）^（k-1）b^T=（b^Ta）^（k-1）ab^T=（a1b1+…anbn）^（k-1）A=（trA）^（k-1）A