已知函数f（x）=xex-aex-1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx2-2（k>2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1-x2|>ln4e．

Question

已知函数f（x）=xe^x-ae^x-1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx²-2（k>2）存在两个不相等的正实数根x₁，x₂，证明：|x₁-x₂|>ln(4)/(e)．

Answer 1

（1） f′（x）=（1+x）e^x-ae^x-1，
∴f′（1）=2e-a=e，解得：a=e，
故f（x）=xe^x-e^x，f′（x）=xe^x，
令f′（x）>0，解得：x>0，令f′（x）<0，解得：x<0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）证明：方程f（x）=kx²-2，即为（x-1）e^x-kx²+2=0，
设g（x）=（x-1）e^x-kx²+2，g′（x）=x（e^x-2k），
令g′（x）>0，解得：x>ln（2k），令g′（x）<0，解得：0∴g（x）在（0，ln（2k））递减，在（ln（2k），+∞）递增，
由k>2，得ln（2k）>ln4>1，
∵g（1）=-k+2<0，∴g（ln（2k））<0，
不妨设x₁2，（其中x₁，x₂为f（x）的两个不相等的正实数根），
∵g（x）在（0，ln（2k））递减，且g（0）=1>0，g（1）=-k+2<0
∴01<1，
同理根据函数g（x）在（ln（2k），+∞）上递增，且g（ln（2k））<0，
得：x₂>ln（2k）>ln4，
∴|x₁-x₂|=x₂-x₁>ln4-1=ln(4)/(e)，
即：|x₁-x₂|>ln(4)/(e)．