在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=3，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图1）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重

Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB= √(3)，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图1）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），则PC的长为___；
（2）将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段EF的中点所经过的路径（线段）长为___．

Answer 1

（1）如图2，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∵AP=1，AB=√(3)，
∴PB=√(12+(√(3))2)=2，
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP：CD=PB：CP，即1：√(3)=2：PC，
∴PC=2√(3)，
（2）设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，
在Rt△EPF中，OP=(1)/(2)EF，
在Rt△EBF中，OB=(1)/(2)EF，
∴OP=OB，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
如图2，当点E与点B重合时，点F与点C重合时，EF的中点为BC的中点O，
当点E与点，A重合时，EF的中点为PB的中点O，
∴OO′为△PBC的中位线，
∴OO′=(1)/(2)PC=√(3)，
∴线段EF的中点经过的路线长为√(3)．
故答案为2√(3)，√(3)．