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点O在三角形ABC内部且满足向量OA＋2OB＋2OC＝0则三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是
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点O在三角形ABC内部且满足向量OA＋2OB＋2OC＝0则三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是
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答案和解析
作向量OD=2OB,OF=2OC,
以OD、OF为邻边作平行四边形ODEF,根据
平行四边形法则可知：OD +OF=OE.
即2OB＋2OC＝OE.
由已知2OB＋2OC＝-OA,
所以OE＝-OA,
BC是中位线,则OE＝2OG=4OH,
则线段OA、OH的长度之比为4:1,
从而AH、OH的长度之比为5:1,
所以△ABC与△OBC都以BC为底,对应高之比为5:1,
所以△ABC与△OBC的面积比为5:1,
∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4.
以OD、OF为邻边作平行四边形ODEF,根据
平行四边形法则可知：OD +OF=OE.
即2OB＋2OC＝OE.
由已知2OB＋2OC＝-OA,
所以OE＝-OA,
BC是中位线,则OE＝2OG=4OH,
则线段OA、OH的长度之比为4:1,
从而AH、OH的长度之比为5:1,
所以△ABC与△OBC都以BC为底,对应高之比为5:1,
所以△ABC与△OBC的面积比为5:1,
∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4.
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