函数f（x）在x=x0处有极值,则f’（x0）=0是真命题吗?他的逆命题呢?

Question

函数f（x）在x=x0处有极值,则f’（x0）=0是真命题吗?他的逆命题呢?

Answer 1

函数f（x）在x=x0处有极值,则f’（x0）=0,这是一个假命题.
如f(x)=|x|在x=0处有极小值0（也是最小值）,但在x=0处没有导数.
逆命题为：若f’（x0）=0,则函数f（x）在x=x0处有极值.这也是一个假命题.
如f(x)=x³,f'(x)=3x²,f'(0)=0,但x=0显然不是f(x)的极值点.
注：导数等于0时,只有当导函数在该点两侧附近的值异号（即原函数在该点两侧单调性相反）时,它才是极值点.