化下列方程为齐次型方程并求通解(2y-x-5)dx-(2x-y+4)dy=0

Question

化下列方程为齐次型方程并求通解(2y-x-5)dx-(2x-y+4)dy=0

Answer 1

令y=n+2,x=m-1,则n=y-2,m=x+1,dy=dn,dx=dm
代入原方程,化简得 dn/dm=(2n-m)/(2mm-n).(1)
令n=mt,则dn/dm=mdt/dm+t
代入齐次方程(1),化简得mdt/dm=(t²-1)/(2-t)
==>(2-t)dt/(t²-1)=dm/m
==>[1/(t-1)-3/(t+1)]dt=2dm/m
==>ln│t-1│-3ln│t+1│=2ln│m│+ln│C│ (C是积分常数)
==>(t-1)/(t+1)³=Cm²
==>t-1=Cm²(t+1)³
==>n/m-1=Cm²(n/m+1)³
==>n-m=C(n+m)³
于是,齐次方程(1)的通解是n-m=C(n+m)³
==>y-x-3=C(y+x-1)³
故 原方程的通解是y-x-3=C(y+x-1)³.