已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数

Question

已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数

Answer 1

mn│m(m+1)+n^2------式一
依题意有：
m|n^2
n|m(m+1)
显然m与m+1互质,所以
n|m或者n|m+1只有一个成立
一、如果n|m+1则设有整数k,　使m+1=kn,m=kn-1代入式一有
(kn-1)n|(kn-1)kn+n^2
(kn-1)|(kn-1)k+n
(kn-1)|n,所以设n=q(kn-1)=qkn-q,(qk-1)n=q,
如n=1则q=1,k=2,m=1 ,是完全平方数
如n=2则q=2,k=1,m=1,是完全平方数
如n=3以上则q=n,k无解
二如果n|m,则设m=kn代入式一
(kn)n|kn(kn+1)+n^2
kn|k(kn+1)+n
kn|k+n
k|n且n|k
所以k=n
所以m=n^2