已知数列中，，，(1)是否存在常数λ，μ，使得数列是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；(2)设，数列的前n项和为，是否存在常数c，使得成立？并证明你的结论；(3)设，

Question

已知数列中，，，
(1)是否存在常数λ，μ，使得数列是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
(2)设，数列的前n项和为，是否存在常数c，使得成立？并证明你的结论；
(3)设，，证明．____

Answer 1

【分析】(1)由题意知a_n+1=2a_n-n²+3n可化为a_n+1+λ(n+1)²+μ(n+1)=2(a_n+λn²+μn)，故，所以存在，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列．
(2)由题意得b_n=2^n-1，要使得lg(S_n-c)+lg(S_n+2-c)=2lg(S_n+1-c)成立，则有c=-1，所以，存在常数c=-1，使得lg(S_n-c)+lg(S_n+2-c)=2lg(S_n+1-c)成立．
(3)由题意知，，所以…，由此可证明T_n(n≥2)．

(1)设a_n+1=2a_n-n²+3n可化为a_n+1+λ(n+1)²+μ(n+1)=2(a_n+λn²+μn)，
即a_n+1=2a_n+λn²+(μ-2λ)n-λ-μ，
故，得，
又a₁-1²+1≠0，
所以存在，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列；
(2)由(1)得a_n-n²+n=(a₁-1²+1)•2^n-1，
得a_n=2^n-1+n²-n，所以b_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1，
要使得lg(S_n-c)+lg(S_n+2-c)=2lg(S_n+1-c)成立，
则有${((S_(n)-c)(S_(n+2)-c)=(S_(n+1)-c)^(2)),(S_(n)-c>0):}，得c=-1，
所以，存在常数c=-1，使得lg(S_n-c)+lg(S_n+2-c)=2lg(S_n+1-c)成立；
(3)证明：因为a_n=2^n-1+n²-n，
所以，
而$c_{n}=\\frac{1}{n^2}lt\\frac{1}{n^{2}-\\frac{1}{4}}=\\frac{1}{n-\\frac{1}{2}}-\\frac{1}{n+\\frac{1}{2}}
所以T_{n}=c_{1}+c_{2}+…+c_{n}lt1+\\frac{2}{3}-\\frac{1}{n+\\frac{1}{2}}lt\\frac{5}{3}(n≥2)
又当n=2时，T_{2}=\\frac{5}{4}>\\frac{4}{5}
当n≥3时，c_{n}=\\frac{1}{n^2}>\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1}
得T_{n}=c_{1}+c_{2}+…+c_{n}>1-\\frac{1}{n+1}=\\frac{n}{n+1}>\\frac{n}{n+1}•\\frac{6}{2n+1}=\\frac{6n}{(n+1)(2n+1)}$；
综上，T_n(n≥2)得证．

【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．