设分别来自于N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2）中抽取容量为n1，n2的两个独立样本，其样本方差分别为S12，S22，试证：对于任意常数a，b（a+b=1），Z=aS12+bS22都是σ2的无偏估计，并确定常数a，b使DZ达

Question

设分别来自于N（μ₁，σ²）和N（μ₂，σ²）中抽取容量为n₁，n₂的两个独立样本，其样本方差分别为S₁²，S₂²，试证：对于任意常数a，b（a+b=1），Z=aS₁²+bS₂²都是σ²的无偏估计，并确定常数a，b使DZ达到最小．

Answer 1

证：由于E

S

2 1

＝E

S

2 2

＝σ2，因此
对于任意常数a，b（a+b=1），有
EZ＝E[a

S

2 1

+b

S

2 2

]＝aE

S

2 1

+bE

S

2 2

＝aσ2+bσ2=（a+b）σ²=σ²，
∴Z＝a

S

2 1

+b

S

2 2

都是σ²的无偏估计．
又((n1−1)S21)/(σ2)＋～Χ2(n1−1)，
((n2−1)S22)/(σ2)＋～Χ2(n2−1)，
∴D

S

2 1

＝(2σ4)/(n1−1)，D

S

2 2

＝(2σ4)/(n2−1)，且

S

2 1

，

S

2 2

相互独立，
∴DZ＝D[a

S

2 1

+b

S

2 2

]＝a2D

S

2 1

+b2D

S

2 2

＝(2a2σ4)/(n1−1)+

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

首先，求出E

S

2 1

＝E

S

2 2

＝σ2；然后，利用期望的性质求出EZ即可；接着，写出((n1−1)S21)/(σ2)～Χ2(n1−1)，((n2−1)S22)/(σ2)～Χ2(n2−1)，再求出DZ，利用条件极值确定常数a，b使DZ达到最小．

名师点评

本题考点：

无偏估计；利用拉格朗日乘数法求条件极值．

考点点评：

此题考查期望的基本性质和正态分布与卡方分布的联系，以及条件极值的求法，是基础知识点的综合，也是跨学科的题目．

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