已知向量a=(cosx,sinx),向量b=(cosx,-sinx),且x∈[0,π/2]（1）求向量a点乘向量b的及向量a+向量b的模（2）若f(x)=向量a点乘向量b-2λ*向量a+向量b的模的最小值是-3/2,求实数λ的值

Question

已知向量a=(cosx,sinx),向量b=(cosx,-sinx),且x∈[0,π/2]
（1）求向量a点乘向量b的及向量a+向量b的模
（2）若f(x)=向量a点乘向量b-2λ*向量a+向量b的模的最小值是-3/2,求实数λ的值

Answer 1

1
向量a=(cosx,sinx),向量b=(cosx,-sinx)
则：a dot b=(cosx,sinx) dot (cosx,-sinx)=cosx^2-sinx^2=cos2x
a+b=(2cosx,0),则：|a+b|=2|cosx|,因为：x∈[0,π/2]
所以：|a+b|=2cosx
2
k即是λ
f(x)=(a dot b)-2k|a+b|=cos2x-4k*cosx=2cosx^2-4k*cosx-1
=2(cosx-k)^2-2k^2-1,x∈[0,π/2],cosx∈[0,1],令t=cosx,则：t∈[0,1]
而f(t)=2(t-k)^2-2k^2-1,对称轴是t=k
当k≤0时,f(t)在区间[0,1]上是增函数,最小值在t=0时取得
即：fmin=-1,此时不满足题意
当k≥1时,f(t)在区间[0,1]上是减函数,最小值在t=1时取得
即：fmin=1-4k,所以：1-4k=-3/2,即：k=5/8,这与k≥1的条件矛盾!
当0