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求“方程(35)x+(45)x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=(35)x+(45)x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,类比上述解题思路,方程x6+x2=x3
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求“方程(
)x+(
)x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=(
)x+(
)x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,类比上述解题思路,方程x6+x2=x3+6x2+13x+10的所有实数解之和为______.
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▼优质解答
答案和解析
∵方程x6+x2=x3+6x2+13x+10等价为x6+x2=(x+2)3+(x+2).
∴设f(x)=x3+x,
则函数f(x)在R上单调递增,
由x6+x2=(x+2)3+(x+2),
即(x2)3+x2=(x+2)3+(x+2),
∴x2=x+2,
解得,x=-1或x=2.
∴方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集为{-1,2}.
∴-1+2=1.
故答案为:1
∴设f(x)=x3+x,
则函数f(x)在R上单调递增,
由x6+x2=(x+2)3+(x+2),
即(x2)3+x2=(x+2)3+(x+2),
∴x2=x+2,
解得,x=-1或x=2.
∴方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集为{-1,2}.
∴-1+2=1.
故答案为:1
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