求“方程（35）x+（45）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（35）x+（45）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，类比上述解题思路，方程x6+x2=x3

Question

求“方程（(3)/(5)）^x+（(4)/(5)）^x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（(3)/(5)）^x+（(4)/(5)）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，类比上述解题思路，方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10的所有实数解之和为______．

Answer 1

∵方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10等价为x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）．
∴设f（x）=x³+x，
则函数f（x）在R上单调递增，
由x⁶+x²=（x+2）³+（x+2），
即（x²）³+x²=（x+2）³+（x+2），
∴x²=x+2，
解得，x=-1或x=2．
∴方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集为{-1，2}．
∴-1+2=1．
故答案为：1