已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y=2x

Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N，将△PMN沿直线MN对折，得到△P 1 MN，在动点M的运动过程中，设△P 1 MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式。

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为y=ax 2 +bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y=x 2 -8x+12，
点P的坐标为（4，-4）。
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形
理由如下：当y=0时，x 2 -8x+12=0
∴x 1 =2，x 2 =6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， -4）
∴OP=4
设D（x，2x）
则BD 2 =（2x） 2 +（6-x） 2
当BD=OP时，（2x） 2 +（6-x） 2 =32
解得：x 1 = ，x 2 =2
当x 2 =2时，OD=BP= ，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x= 时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D（ ， ）时，四边形OPBD为等腰梯形。
（3）① 当0＜t≤2时，
 ∵运动速度为每秒 个单位长度，运动时间为t秒，
则MP= t
∴PH=t，MH=t，HN= t
∴MN= t
∴S= t·t· = t 2 ；
②当2＜t＜4时，P 1 G=2t-4，P 1 H=t
∵MN∥OB
∴ ∽
∴
∴
∴ =3t 2 -12t+12
∴S= t 2 -（3t 2 -12t+12）=- t 2 +12t-12
∴ 当0＜t≤2时，S= t 2
当2＜t＜4时，S=- t 2 +12t-12。