设函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解集；（Ⅱ）若f（1）=32，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=(3)/(2)，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（I）∵f（1）＞0，∴a−(1)/(a)＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，f（x）=a^x-a^-x
∴f（x）在R上为增函数，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），故该函数为奇函数；                                   
因此原不等式可化为：f（x²+2x）＞f（4-x），结合单调性得
x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或x＜4，所以不等式解集为{x|x＞1或x＜4}．
（II）∵f(1)＝(3)/(2)，∴a−(1)/(a)＝(3)/(2)，即2a²-3a-2=0，解得a=2或a=−(1)/(2)（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数∵x≥1，∴t≥f（1）=(3)/(2)，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥(3)/(2)）                
若m≥(3)/(2)，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜(3)/(2)，当t=(3)/(2)时，h（t）_min=(17)/(4)-3m=-2，解得m=(25)/(12)＞(3)/(2)，舍去
综上可知m=2．