设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设D（x0，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l1，l2过点D

Question

设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设D（x₀，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l₁，l₂过点D，且它们的倾斜角互补．若直线l₁，l₂与曲线C的另一交点分别是M，N，证明直线MN的斜率为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离等于点P（x，y）到直线x=-1的距离，
由抛物线的定义知点P的轨迹方程是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
故曲线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）由D（x₀，2）在曲线C上，得4=4x₀⇒x₀=1，从而D（1，2）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线l₁：y=k（x-1）+2，
则l₂：y=-k（x-1）+2，
由

y=k(x-1)+2

y2=4x

⇒k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0，
∴x1×1=((k-2)2)/(k2)=(k2-4k+4)/(k2)
同理x2=(k2+4k+4)/(k2)，
∴x1+x2=(2k2+8)/(k2)，x1-x2=(-8)/(k)，
∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=(8)/(k)
∴kMN=(y1-y2)/(x1-x2)=((8)/(k))/(-(8)/(k))=-1
直线MN的斜率为定值-1．