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设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D

题目详情
设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意知,动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=-1的距离,
由抛物线的定义知点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,
故曲线C的方程为y2=4x.
(Ⅱ)由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0⇒x0=1,从而D(1,2)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线l1:y=k(x-1)+2,
则l2:y=-k(x-1)+2,
y=k(x-1)+2
y2=4x
⇒k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,
x1×1=
(k-2)2
k2
=
k2-4k+4
k2

同理x2=
k2+4k+4
k2

x1+x2=
2k2+8
k2
,x1-x2=
-8
k

y1-y2=k(x1+x2)-2k=
8
k

kMN=
y1-y2
x1-x2
=
8
k
-
8
k
=-1
直线MN的斜率为定值-1.
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