设f为[a，b]上的非负可积函数，在x0∈[a，b]连续且f（x0）>0，证明：∫baf（x）dx>0．

Question

设f为[a，b]上的非负可积函数，在x₀∈[a，b]连续且f（x₀）>0，证明：

∫

b a

f（x）dx>0．

Answer 1

证明：由于f（x）在x₀∈[a，b]连续且f（x₀）>0，因此
存在δ>0，使得f（x）>0，x₀-δ0+δ
而f为[a，b]上的非负可积函数，因此

∫

b a

f（x）dx>

∫

x0+δ x0-δ

f(x)dx>0