已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}满足：a₃+a₈=20，且a₅是a₂与a₁₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=(1)/(anan+1)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃+a₈=20，且a₅是a₂与a₁₄的等比中项，
∴

2a1+9d=20

(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=(1)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)），
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)）=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）=(n)/(2n+1)．