如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是．

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，则侧棱AA₁和截面B₁D₁DB的距离是______．

Answer 1

由题意知平面B₁D₁DB垂直于A₁ACC₁
连A₁D，A₁B，A₁C₁，AC
设A₁C₁交B₁D₁于O₁点
AC交BD于O点
∵ABCD为正方形
∴BD=A₁C₁=2√(2)a
∴A₁O₁=√(2)a
又∠A₁AD=∠A₁AB=60，
∴A₁D=A₁B=2a
A₁D²+A₁B²=B₁D₁²
则△A₁BD为等腰直角三角形
则A₁O=√(2)a=A₁O₁
在△AO₁O中
A₁O=A₁O₁=√(2)a
又OO₁=2a
∴△AO₁O为等腰直角三角形
∴A₁到OO₁的距离为a
即侧棱AA₁和平面B₁D₁DB的距离是a
故答案为a．