已知an=xa(n-1)+ya(n-2),a1=a,a2=b求通项an求和Sn把答案弄出来

Question

已知an=xa(n-1)+ya(n-2),a1=a,a2=b
求通项an 求和Sn
把答案弄出来

Answer 1

这个是有实根的情况,如果无实根,这个是周期数列,可以把周期和所有值表示出
设an-αa(n-1)=β[a(n-1)-αa(n-2)]
α+β=x
αβ=-y
构造方程t²-xt-y=0
t=[x+-√(x²+4y)]/2,t1=[x+√(x²+4y)]/2,t2=[x-√(x²+4y)]/2
所以α=t1,β=t2
或α=t2,β=t1
所以
an-t1a(n-1)=t2[a(n-1)-t1a(n-2)]=t2^(n-2)(a2-a1)````````1
an-t2a(n-1)=t1[a(n-1)-t2a(n-2)]=t1^(n-2)(a2-a1)````````2
1式*t2-2式*t1
(t2-t1)an=t2^(n-1)(a2-a1)-t1^(n-1)(a2-a1)
t2-t1=-√(x²+4y),t1=[x+√(x²+4y)]/2,t2=[x-√(x²+4y)]/2代入
我还是表示出来,代入的话,看起来会比较混乱
an=(b-a)[t2^(n-1)-t1^(n-1)]/(t2-t1)
Sn就很好求了,这个是个等比数列,不过这个式子太复杂,如果是实数的话,应该好算很多