1.一人画直线,由A0到A1画了2cm的直线,再由A1画4cm的直线到A2,A0,A1,A2·····不一定位於同一直线,设第n条直线为2^ncm,问画了（k+1）条直线,A（k+1）与A0重叠吗?2.某人向银行借100000的贷款,年利率为3

Question

1.一人画直线,由A0到A1画了2cm的直线,再由A1画4cm的直线到A2,A0,A1,A2·····不一定位於同一直线,设第n条直线为2^n cm,问画了（k+1）条直线,A（k+1）与A0重叠吗?
2.某人向银行借100000的贷款,年利率为3%,依复利息每月计息一次.某人每月还款X元给该银行,直至该笔贷款还清（最後一次还款可少於X）,其中X＜100000.证明若在第n次还款后尚未还清,则他欠银行$（100000（1.0025）^n-400x（（1.0025）^n-1））

Answer 1

1.不重叠.前k条直线总长最长即是把前面的点均画在同一直线上
最大长度为 2+4+8+...+2^k=2(1-2^k)/(1-2)=2^(k+1)-2<2^(k+1)
即是前面k条直线总长度也小于第k条直线的长度.所以A（k+1）和A0不可能重叠
2.月利率为3%/12=0.0025
首先搞清楚分期付款,贷款要产生复利,每个月还的钱也是会产生复利的
到第n个月,贷款加利息一共100000(1+0.0025)^n
而第一个月还的钱,此时已经变成X(1+0.0025)^(n-1)
第二个月还的钱,此时已经变成X(1+0.0025)^(n-2)
.
第n个月还的钱,此时还是X
因此,第n个月时,一共还了
X+X(1.0025)+X(1.0025)^2+...+X(1.0025)^(n-1)=400X(1.0025^n-1)
故还欠银行
100000(1.0025)^n-400X(1.0025^n-1)