已知a>0,b>0,求证;a+b分之2ab小于等于根号下ab小于等于2分之a+b小于等于根号下2分之平方加b平方

Question

已知a>0,b>0,求证;
a+b分之2ab小于等于根号下ab小于等于2分之a+b小于等于根号下2分之平方加b平方

Answer 1

1.0
假设 2ab/(a+b)>根号下ab 则两边平方并约去ab 有 4ab/(a*a+b*b+2ab)>1,则有a*a+b*b-2ab(a+b)/2,同上面的一样 两边同时平方移项 最后可得a-b的完全平方小于0 显然不成立 即假设不成立 即证；
3.0
根号下a平方加b平方/2的完全平方等于 （a平方加b平方）/2,用它减去（a+b）/2的完全平方 最后可得 （a*a+b*b-2ab）/4 =(a-b)/2的完全平方 显然大于等于0,即 根号下a平方加b平方/2大于等于a+b/2