已知BC是O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，连接FC．（1）如图1，若OE=2，求CF；（2）如图2，连接DE，并延长交FC的延长线于G，连接AG，请你判断直线AG与O的位置关系，并说明理

Question

已知BC是 O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，连接FC．
（1）如图1，若OE=2，求CF；
（2）如图2，连接DE，并延长交FC的延长线于G，连接AG，请你判断直线AG与 O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵BC是 O的直径，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，
∴∠AEO=∠BDO=90°，OA=OB，
在△AEO和△BDO中，

∠AEO=∠BDO

∠AOE=∠BOD

OA=OB

，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OE=OD=2，
∵BC是 O的直径，
∴∠CFB=90°，即CF⊥BF，
∴OD∥CF，
∵O为BC的中点，
∴OD为△BFC的中位线，
∴CF=2OD=4；
（2）直线AG与 O相切，理由如下：
连接AB，如图所示：
∵OA=OB，OE=OD，
∴△OAB与△ODE为等腰三角形，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO，
∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD，
∴∠GDF=∠ABD，
∵OD为△BFC的中位线，
∴BD=DF，
在△ABD和△GDF中，

∠ABD=∠GDF

BD=DF

∠ADB=∠GFD=90°

，
∴△ABD≌△GDF（ASA），
∴AD=GF，
∵AD⊥BF，GF⊥BF，
∴AD∥GF，
∴四边形ADFG为矩形，
∴AG⊥OA，
∴直线AG与 O相切．