高数书上只说了：有任意阶倒数的函数,其拉格朗日余项趋近于零,是该函数可以展成泰勒级数的充要条件.但是书上没说：一个函数有任意阶倒数是否为该函数能展成泰勒公式的充要条件.所以

Question

高数书上只说了：
有任意阶倒数的函数,其拉格朗日余项趋近于零,是该函数可以展成泰勒级数的充要条件.
但是书上没说：一个函数有任意阶倒数是否为该函数能展成泰勒公式的充要条件.
所以我想问 一个函数有任意阶倒数,是该函数能展开泰勒公式的充要条件吗?

Answer 1

不是,反例是：
f(x)=e^(-1/x^2),x不为0.
0,x=0.
此时f(x)在x=0的各阶导数都是0.
但它不能展成x=0处的Taylor级数.
否则的话f(x)=0,矛盾.