求证关于x的方程x^2+px+q=0的两根为一直角三角形两锐角的正弦的充要条件是p^2-2q=1且p小于0,q属于（0,1/2）

Question

求证关于x的方程x^2+px+q=0的两根为一直角三角形两锐角的正弦的充要条件是p^2-2q=1
且p小于0,q属于（0,1/2）

Answer 1

充分性
sinx1+sinx2=-p
sinx1sinx2=q
sinx1=cosx2
(sinx1+sinx2)^2=(sinx2+cosx2)^2=1+2sinx2cosx2=p^2
所以p^2-2q=1
必要性
sinx1+sinx2=-p
sinx1sinx2=q
p^2-2q=1
(sinx1+sinx2)^2-2sinx1sinx2=1
sin^2x1+sin^2x2=1
所以sinx1=cosx2
x1+x2=90
得证...