急 已知A(1,1),B(1,-1),C(√2cosθ,√2sinθ)θ∈R,O为原点坐标已知A(1,1),B(1,-1),C(√2cosθ,√2sinθ)θ∈R,O为原点坐标 若实数m,n满足m向量OA+n向量OB=向量OC,求（m-3)²+n²的最大值

Question

急 已知A(1,1),B(1,-1),C(√2cosθ,√2sinθ)θ∈R,O为原点坐标
已知A(1,1),B(1,-1),C(√2cosθ,√2sinθ)θ∈R,O为原点坐标
若实数m,n满足m向量OA+n向量OB=向量OC,求（m-3)²+n²的最大值

Answer 1

向量OA=（1,1）
向量OB=（1,-1）
向量OC=(√2cosθ,√2sinθ）
m向量OA+n向量OB
=(m,m)+(n,-n)
=(m+n,m-n)
=(√2cosθ,√2sinθ)
所以m+n=√2cosθ,m-n=√2sinθ
平方得
m²+2mn+n²=2cos²θ
m²-2mn+n²=2sin²θ
两式相加得
2(m²+n²)=2
m²+n²=1
令m=sinx,n=cosx
（m-3)²+n²
=(sinx-3)²+cos²x
=sin²x-6sinx+9+cos²x
=10-6sinx
当sinx=-1时,取最大值16
所以（m-3)²+n²的最大值为16