设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,求证:对任意一点O,有OM=1/4(OA+OB+OC+OD)(OM,OA,OB,OC,OD都是向量

Question

设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,求证:对任意一点O,有OM=1/4(OA+OB+OC+OD)
(OM,OA,OB,OC,OD都是向量

Answer 1

设O为CD上任意一点
OM=1/4(OA+OB+OC+OD)
所以4OM=OA+OB+OC+OD
=OM+MA+OM+MB+OC+OD
=2OM+MA+MB+OC+OD
2OM=MA+MB+OC+OD
设F为AB上一点,且FA=OD,FB=OC,OM=MF
所以2OM=MA+MB+FA+FB=2MF
同理可证当O为ABCD上任意一点,该式都成立.