求几道数学题1、如果X-Y=M,Y-Z=N,那么X平方+Y平方+Z平方-XY-YZ-XZ的值是多少?2、对任意有理数X,若X立方+Ax平方+bx+c都能被X平方—bx+c整除,则a-b+c的值是多少?3、化简a四次方+b四次方+(a+b)四次方—2(a

Question

求几道数学题
1、如果X-Y=M,Y-Z=N,那么X平方+Y平方+Z平方-XY-YZ-XZ的值是多少?
2、对任意有理数X,若X立方+Ax平方+bx+c都能被X平方—bx+c整除,则a-b+c的值是多少?
3、化简a四次方+b四次方+(a+b)四次方—2(a平方+ab+b平方)平方得多少?
4、已知x,y,z为整数,xy+yz+zx=0,a、b、c是不等于1的正数,且满足a的x次方=by的次方=c的z次方,求证abc=1

Answer 1

1、x－z＝(x－y)＋(y－z)＝M＋N
∴x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－xz
＝1/2(2x^2＋2y^2＋2z^2－2xy－2yz－2xz)
＝1/2(x^2＋y^2－2xy＋y^2＋z^2－2yz＋x^2＋z^2－2xz)
＝1/2[(x－y)^2＋(y－z)^2＋(x－z)^2]
＝1/2[M^2＋N^2＋(M＋N)^2]
＝M^2＋N^2＋MN
2、那个三次四项式能被一个二次三项式整除,可知它必存在一次二项式因式x＋1(因为两个多项的最高次项系数都是1,故一次因式最高次项系数也为1,再考虑两多项式的常数项知一次因式的常数项为1)
(x＋1)(x^2－bx＋c)＝x^3＋(1－b)x^2＋(c－b)x＋c＝x^3＋ax^2＋bx＋c
比较相应的系数得：1－b＝a,c－b＝b
∴a＋b＝1,c＝2b
∴a－b＋c＝a－b＋2b＝a＋b＝1
3、a^4＋b^4＋(a＋b)^4－2(a^2＋ab＋b^2)^2
＝a^4＋b^4＋(a＋b)^4－2[(a^2＋2ab＋b^2)－ab]^2
＝a^4＋b^4＋(a＋b)^4－2[(a＋b)^2－ab]^2
＝a^4＋b^4＋(a＋b)^4－2[(a＋b)^4－2ab(a＋b)^2＋a^2b^2]
＝a^4＋b^4＋(a＋b)^4－2(a＋b)^4＋4ab(a＋b)^2－2a^2b^2
＝a^4＋b^4－2a^2b^2－(a＋b)^4＋4ab(a＋b)^2
＝(a^2－b^2)^2－(a＋b)^4＋4ab(a＋b)^2
＝[a^2－b^2＋(a＋b)^2][a^2－b^2－(a＋b)^2]＋4ab(a＋b)^2
＝(2a^2＋2ab)(－2b^2－2ab)＋4ab(a＋b)^2
＝2a·(a＋b)·(－2b)(a＋b)＋4ab(a＋b)^2
＝－4ab(a＋b)^2＋4ab(a＋b)^2
＝0
4、设a^x＝b^y＝c^z＝t^(xyz)
∴a＝t^(yz),b＝t^(xz),c＝t^(xy)
∴abc＝t^(yz)·t^(xz)·t^(xy)＝t^(xy＋yz＋zx)＝t^0＝1