求经过两圆x^2+y^2-10x=0和x^2+y^2+20y=0的交点且面积最小的圆的方程

Question

求经过两圆x^2+y^2-10x=0和x^2+y^2+20y=0的交点且面积最小的圆的方程

Answer 1

由圆系方程 令所求园的方程为
a(x^2+y^2-10x)+x^2+y^2+20y=0
化简得(a+1)x^2+(a+1)y^2-10ax+20y=0
即 x^2+y^2-10a/(a+1)*x+20/(a+1)*y=0
[x-5a/(a+1]^2+[y+10/(a+1)]^2=(25a^2+100)/(a+1)^2
∴r^2=(25a^2+100)/(a+1)^2
s=πr^2
要使s最小
则r^2最小
令 r^2=b
则
b=（25a^2+100)/(a+1)^2
即b(a+1)^2=25a^2+100
化简得 (b-25)a^2+2ba+b-100=0
因为 a一定存在
∴△=4b^2-4(b-25)(b-100)
=500b-10000>=0
∴b>=20
∴bmin=20 即smin=20π
此时a=4
∴满足条件的圆的方程为
x^2+y^2-8x+4y=0