设椭圆方程X^2+Y^2/4=1,过点M(0,1)的直线L交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足OP=1/2(OA+OB),点N的坐标为(1/2,1/2)当直线L绕点M旋转时,求:1.动点P的轨迹方程.2.|NP|的最小和最大值题中的OP,OA,OB,NP都是向量表

Question

设椭圆方程X^2+Y^2/4=1,过点M(0,1)的直线L交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足OP=1/2(OA+OB),点N的坐标为(1/2,1/2)当直线L绕点M旋转时,
求:1.动点P的轨迹方程.
2.|NP|的最小和最大值
题中的OP,OA,OB,NP都是向量表示

Answer 1

解
1、 设直线L的斜率为k
则l的方程为y=kx+1
设A(x1,y1),B(x2,y2),
依题意知 A,B坐标为
方程组
y=kx+1 ①,X^2+Y^2/4=1,②的解
将①代入②得
（k^2+4）x^2+2kx-3=0
所以 x1+x2=-2k/(k^2+4)
y1+y2=8/（k^2+4）
由 OP=1/2(OA+OB)
=（（x1+x2）/2 ,（y1+y2）/2）
= （ -k/(k^2+4),4/（k^2+4））
设p（x,y）
x=-k/(k^2+4),
y=4/（k^2+4）
消去参数k
得 4x^2+y^2-y=0 ③
当k不存在时A,B中点为坐标原点（0,0）
也满足方程③
所以P点的轨迹方程为4x^2+y^2-y=0
即x^2/1/16+(y-1/2)^2/1/4=1
2,由点p的轨迹方程知 x^2