线性代数里Ax=0只有零解时,Ax=b为什么可能会有无解的情况?Ax=0只有零解时,我怎么觉得Ax=b只有唯一解,为什么可能无解,系数矩阵是一样的,Ax=b的增广矩阵只是多出来一列而已啊,行并没变啊,为什

Question

线性代数里Ax=0只有零解时,Ax=b为什么可能会有无解的情况?
Ax=0只有零解时,我怎么觉得Ax=b只有唯一解,为什么可能无解,系数矩阵是一样的,Ax=b的增广矩阵只是多出来一列而已啊,行并没变啊,为什么会无解呢?

Answer 1

先举个例子
X1+X2=3
2X1+X2=4
X1+X2=5
系数矩阵的秩为2,增广矩阵的秩为3,原因就是第一个方程与第三个方程冲突.
Ax=0只有零解时,系数矩阵的秩与未知数个数相等,增广矩阵的秩比系数矩阵多了一列,秩只可能大于或等于未知数个数,当增广矩阵的秩与系数矩阵相同时,方程有解,否则无解.举个例子：
X1+X2=3
X1+X2=4
你可以观察得到两个方程有冲突,将增广矩阵线性变换后得：
1 1 3
0 0 1
显然增广矩阵的秩为2,系数矩阵的秩序为1,此时方程组无解,
系数矩阵是：
1 1
0 0
增广矩阵是
1 1 3
0 0 1