如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值

Question

如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值．

Answer 1

（Ⅰ） 设抛物线的方程为x²=2py（p>0），
由点P（2，1）在抛物线上，
即有2²=2p，解得p=2，
则有抛物线的方程为x²=4y；
（Ⅱ）证明：若∠APB的平分线垂直于y轴，
则有k_AP+k_BP=0，
即(y1-1)/(x1-2)+(y2-1)/(x2-2)=0，
即有((x12)/(4)-1)/(x1-1)+((x22)/(4)-1)/(x2-1)=0，
化简得，(1)/(4)（x₁+2）+(1)/(4)（x₂+2）=0，
即为x₁+x₂=-4，
则有k_AB=(y1-y2)/(x1-x2)=((x12)/(4)-(x22)/(4))/(x1-x2)=(1)/(4)（x₁+x₂）=-1．