已知实数x,y满足方程x2+(y-1)2=1/4求根下(x-2)2+(y-3)2的取值范围

Question

已知实数x,y满足方程x2+(y-1)2=1/4求根下(x-2)2+(y-3)2的取值范围

Answer 1

提示：用三角函数解比较简单.
令x=(1/2)cosa,y=1+(1/2)sina
(x-2)²+(y-3)²
=[(1/2)cosa -2]²+[1+(1/2)sina -3]²
=cos²a /4 -2cosa +4 +sin²a /4 -2sina +4
=(sin²a+cos²a)/4 +8-2(sina+cosa)
=33/4 -2√2sin(a+π/4)
当sin(a+π/4)=1时,(x-2)²+(y-3)²有最小值33/4 -2√2；
当sin(a+π/4)=-1时,(x-2)²+(y-3)²有最大值33/4 +2√2；
(x-2)²+(y-3)²的取值范围为[33/4- 2√2,33/4 +2√2].