大一高数.证明方程x=asinx+b,其中a大于0,b大于0,至少有一个正根且不超过a+b

Question

大一高数.证明方程x=asinx+b,其中a大于0,b大于0,至少有一个正根且不超过a+b

Answer 1

应用介值定理.如果一个连续的函数f(x),[a,b]在这个函数的定义域内连续,并且f(a)与f(b)异号,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
设f（x）=asinx+b-x,f（x）在闭区间[0,a+b]上连续,f（0）=b＞0,f（a+b）=asin（a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0
分两种情况,当sin（a+b)=1时,f（a+b）=0,方程有一个正根x=a+b符合要求
sin（a+b)＜1时,f（a+b）＜0,符合介值定理条件,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b