已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2:1,求证:2b²=9ac

Question

已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2:1,求证:2b²=9ac

Answer 1

首先它有2根
=》由于方程为ax²+bx+c=0,令x1=(-b/2a)+sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))
x2=(-b/2a)-sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))
( x1,x2是方程的一般解,课本上有.)
再由x1:x2=2:1
=>x1=x2*2即
(-b/2a)+sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))=（-b/2a)-sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))*2
=>b/2a=-3*(sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))
=>b=-6a*(sqrt((b*b-4*a*c)/4*a*a))
两边平方得：
b*b=36*a*a*((b*b-4*a*c)/4*a*a))
=>b*b=9*(b*b-4*a*c)
=>36*a*c=8*b*b
=>9*a*c=2*b*b
=>得证